Orthogonal Projection

$${\text{proj}}_{\vec{u}}\vec{v}=\left(\vec{v}\cdot \hat{u}\right)\hat{u}=\frac{\vec{v}\cdot \vec{u}}{||\vec{u}||}\frac{\vec{u}}{||\vec{u}||}=\frac{\vec{v}\cdot \vec{u}}{\vec{u}\cdot \vec{u}}\vec{u}$$ $$\vec{w}=\vec{v}-{\text{proj}}_{\vec{u}}\vec{v}\vec{v}=\vec{w}+{\text{proj}}_{\vec{u}}\vec{v}||\vec{v}|{|}^2=||\vec{w}|{|}^2+||{\text{proj}}_{\vec{u}}\vec{v}|{|}^2$$